Los archivos HTML requieren un programa (como es el caso de cualquier archivo que se abre), para ser asociado con él. La diferencia es que el HTML puede contener otros tipos de referencias dentro de ellos, que requieren capacidades de renderización.
Por ejemplo, un archivo HTML puede contener JavaScript, lo que requeriría que el programa asociado (navegador) sea capaz de interpretar JavaScript. Esto se llama código del lado del cliente, porque el «navegador» hace la interpretación en el dispositivo en el que se está abriendo el archivo (el cliente).
Por otro lado, un archivo HTML puede contener referencias a contenido externo, lo que requeriría una conexión a Internet, con el fin de renderizar esas piezas de contenido. Las referencias al contenido en los archivos html, en este escenario son a través de dos protocolos generales, http y la versión segura https.
Por último, otras secuencias de comandos «del lado del servidor» pueden potencialmente ser incrustadas en un archivo HTML (ya sea directamente, o externamente, por referencia).
Así que la respuesta a tu pregunta depende de lo que esté incrustado en el archivo HTML – y si tu «navegador» (y/o servidor) puede interpretar correctamente ese código.
Una cosa segura es que si tienes cualquier contenido incrustado en tu archivo HTML que esté referenciado por url, es probable que necesites una conexión a Internet activa, a menos que tengas un servidor web en tu teléfono (lo cual es otro tema por completo).