Sí. Si te pasas por tu compañía de telefonía móvil es posible que puedan hacerlo por ti. Si quieres hacerlo tú mismo, tanto Google como Apple ofrecen servicios de copia de seguridad que también funcionan como formas de transferir todos los datos de un teléfono a otro.
Si has pasado de un dispositivo Android a otro, puedes simplemente utilizar el servicio de copia de seguridad de Android para transferir los datos de las aplicaciones de una cuenta a otra: Haz una copia de seguridad o restaura los datos de tu dispositivo
Si hiciste la transición de un iPhone a otro, puedes hacer lo mismo con una cuenta de iCloud o de iTunes. Echa un vistazo a las instrucciones en Cómo hacer una copia de seguridad de tus dispositivos con iCloud o iTunes
Si cambiaste de Android a iPhone, o viceversa, esto puede no ser posible por desgracia. Si quieres algunos consejos para el cambio echa un vistazo a: Cómo cambiar a iPhone desde Android: Patience and Persistence (sin embargo, no creo que pueda cambiar los datos de las aplicaciones, ya que son dos aplicaciones diferentes para las que los datos no se almacenan en la nube).
Es bueno ver que usted está cuidando de sus gatos.