Hay una manera de hacerlo sin desinstalar la aplicación, pero requiere entrar en la configuración del sistema de tu teléfono.
En resumen, puedes borrar los datos de la aplicación Messenger para cerrar la sesión yendo a los Ajustes de tu teléfono > Aplicaciones (Apps) > Messenger > Borrar datos. El equipo de Facebook Messenger no ha facilitado el cierre de sesión de la aplicación en Android, ni en otras plataformas. No hay manera de hacerlo directamente dentro de la aplicación.
Primero, tienes que ir a los Ajustes de tu teléfono Android, luego desplazarte hacia abajo y tocar Aplicaciones:
En este punto verás una lista de tus aplicaciones descargadas (en algunos teléfonos puede que tengas que tocar Administrar aplicaciones). Desplázate hacia abajo por las aplicaciones descargadas hasta que encuentres Messenger, y toca:
En la siguiente pantalla, toca Borrar datos:
A continuación, aparecerá un mensaje que te pedirá que confirmes que quieres borrar los datos de la aplicación, y luego toca Aceptar. No te preocupes, todos tus mensajes volverán a estar ahí cuando decidas volver a iniciar sesión.
Así que ahora ya has cerrado la sesión de la aplicación Messenger
Aunque puede ser frustrante para ti no poder cerrar la sesión, reconozco algunas razones por las que la gente que construye el producto puede haberlo querido así después de haber construido productos similares yo mismo. Puedes leer la opinión de un diseñador de Quora sobre el motivo por el que el equipo de Facebook Messenger puede haber dificultado tanto el cierre de sesión en la respuesta de Henry Modisett a ¿Por qué es imposible cerrar la sesión en el nuevo Facebook Messenger para Android?