El principal uso original de las transformadas de Laplace era (y es) resolver problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales lineales. Pueden reducir las ecuaciones diferenciales ordinarias a ecuaciones algebraicas, y las ecuaciones diferenciales parciales a odas. Las ecuaciones transformadas son más fáciles de resolver, y luego la solución en el dominio de Laplace se transforma de nuevo en el dominio del tiempo, normalmente consultando una tabla de transformaciones inversas de Laplace; si es necesario, evaluando la integral de contorno de Bromwich en el plano complejo.
Las técnicas de transformación de Laplace hicieron rigurosos los anteriores métodos de operadores ad hoc, en los que la diferencial con respecto al tiempo se sustituye por un operador D, siendo 1/D la integración. El operador D se trata entonces como si fuera una cantidad algebraica.
La técnica de los operadores fue plenamente desarrollada por el físico Oliver Heaviside en 1893, en relación con su trabajo en telegrafía. Guiado en gran medida por la intuición y su riqueza de conocimientos sobre la física detrás de sus estudios de circuitos, Heaviside desarrolló el cálculo operacional que ahora se atribuye a su nombre.
Una justificación matemática rigurosa de los métodos operacionales de Heaviside’ vino sólo después del trabajo de Bromwich que relacionó el cálculo operacional con los métodos de transformación de Laplace.
Respuesta basada en el material de Wikipedia, así como en mi experiencia utilizando las transformadas de Laplace desde 1967.